Seminario Lógica y Geometría – UN Bogotá

Bienvenidos a la Página del Seminario de Geometría y Lógica de la Universidad Nacional en Bogotá. Es uno de los seminarios del Grupo de Lógica de Bogotá.

Los organizadores del seminario somos Alexander Cruz, Leonardo Cano y Andrés Villaveces del Departamento de Matemáticas de la Universidad Nacional en Bogotá.

2019

El seminario tiene un calendario ligeramente independiente del semestre académico oficial (que se vio afectado en II-2018).

Planeamos sesiones en las siguientes fechas (viernes de las 9 a las 13 horas, excepto la sesión inicial que será miércoles de 10 a 12):

He aquí un resumen de las sesiones en 2019:

  • 27 de febrero (miércoles): sesión inicial de 2019.
  • 26 de abril: presentación oficial del Grupo Geometría y Lógica
  • 21 de mayo: química teórica, geometría y teoría de modelos
  • 14 de junio: tema por definir

27 de febrero – sesión inicial de 2019

Hablan:

  • 10:00 a 10:50  Hugo L. Mariano – (IME-USP) – Some Algebraic and Logical Aspects of \mathcal{C}^{\infty}-Rings
  • 11:05 a 11:55 John Alexander Cruz (UNAL) – Algunas interacciones entre geometría y teoría de modelos.

Resúmenes

  • Hugo L. Mariano: As pointed out by I. Moerdijk and G. Reyes, \mathcal{C}^{\infty}-rings have been studied specially for their use in Singularity Theory and in order to construct topos models for Synthetic Differential Geometry. In this work, we follow a complementary trail, deepening our knowledge about them through a more pure bias, making use of Category Theory and accounting them from a logical-categorial viewpoint. We begin by giving a comprehensive systematization of the fundamental facts of the (equational) theory of \mathcal{C}^{\infty}-rings, widespread here and there in the current literature – mostly without proof – which underly the theory of \mathcal{C}^{\infty}-rings. Next we develop some topics of what we call a \mathcal{C}^{\infty}-Commutative Algebra, expanding some earlier partial results. We make a systematic study of von Neumann-regular \mathcal{C}^{\infty}-rings (following [Mariano]) and we present some interesting results about them, together with their (functorial) relationship with Boolean spaces. We study some sheaf theoretic notions on \mathcal{C}^{\infty}-rings, such as \mathcal{C}^{\infty}-(locally)-ringed spaces and the smooth Zariski site. Finally we describe classifying toposes for the (algebraic) theory of \mathcal{C}^{\infty}-rings, the (coherent) theory of local \mathcal{C}^{\infty}-rings and the (algebraic) theory of von Neumann regular \mathcal{C}^{\infty}-rings.
  • John Alexander Cruz: En esta charla discutiremos algunas preguntas y exploraremos algunas ideas recientes en la interacción entre geometría (entendida de una manera bastante general) y teoría de modelos. El énfasis estará en las interacciones discutidas en los semestres previos del seminario de Geometría y Teoría de modelos de la Universidad Nacional.

26 de abril – Haces en Física + Lanzamiento del grupo Conexión de GALoiS

  • 11:00 a 11:50 – Nicolás Medina (estudiante de maestría en Matemática Aplicada, Universidad Nacional): La estructura de Haz del espacio de estado en física.
  • 12:00 a 12:50 – Grupo Conexión de GALoiS (nuevo grupo de investigación asociado a los temas de este seminario): presentación inicial. Un recorrido a cargo de Andrés Villaveces y John Alexander Cruz del recorrido previo del grupo y de los temas de investigación y problemas abiertos que el grupo está abordando.

Resúmenes:

(N. Medina) La estructura de Haz del espacio de estado en físicaAbstract: En esta presentación, se dará una introducción al topos de prehaces que caracteriza la formulación en topos de la mecánica cuántica, dónde ciertos prehaces (el prehaz espectral y sus subfuntores) van a jugar el rol de los espacios de estado físicos. Partiendo de este punto, buscando enriquecer la información geométrica y física de esta construcción, se presentará una posible topología de Grothendieck para la categoría base de los prehaces (la categoría de contextos), basada en una forma de entropía que en ciertos casos que se discutirán, será igual a la entropía de von Neumann. Esta topología, naturalmente permite estudiar las secciones de los prehaces a través de la cohomología de Cech dependiente de la topología, lo cual permitirá caracterizar obstrucciones para la existencia de secciones globales así como la definición de una curvatura asociada a las secciones, objetos que serán interpretados en términos de la relación entre estados puros y estados mixtos en una teoría física descrita de esta forma. Finalmente, se tomará el sitio generado por la categoría de contextos y la topología entrópica como el sitio sintáctico de una teoría que se discutirá a través del objeto universal (el endofuntor identidad) de su topos clasificante.

(Grupo Conexión de GALoiS / A. Villaveces / J.A. Cruz)

21 de mayo – De química teórica a lógica (vía geometría)

Esta sesión especial de mayo del seminario contó con la participación de Adam Wasserman (Purdue University), químico teórico, quien habló de algunas preguntas fundamentales de estructura de moléculas – preguntas que se pueden leer “en clave matemática”. Además de Adam Wasserman, hablamos Alex Cruz y yo.

  • Adam Wasserman – (17:30 a 18:30) ¿Cuál es la forma de átomos en moléculas? – Hacia una teoría cuántica de la reactividad química.
  • Andrés Villaveces – (18:30 a 19:10) Algunas preguntas de carácter modelo-teórico, pero planteadas por químicos.
  • Alexander Cruz – (19:10 a 20:00) Modelos geométricos del helio.

Resúmenes:

  • ¿Cuál es la forma de átomos en moléculas? – Hacia una teoría cuántica de la reactividad química. En cierta forma, la mecánica cuántica da solución a todos los problemas de la química:   Lo “único” que hay que hacer es resolver las ecuaciones de Schrödinger para las moléculas de interés. Desafortunadamente, el costo computacional de resolver estas ecuaciones crece exponencialmente con el número de electrones, y para más de ~100 electrones resulta imposible resolverlas con “precisión química” (~ 2 kcal/mol). Las ecuaciones de Kohn-Sham (KS) de la Teoría de Funcionales de la Densidad (DFT) permiten reformular las ecuaciones de Schrödinger usando la densidad de probabilidad electrónica como la variable central sin necesidad de calcular las funciones de onda de Schrödinger.  El costo de resolver las ecuaciones de Kohn-Sham sólo crece como N3, donde N es el número de electrones, lo que ha llevado a la inmensa popularidad de DFT en química. En esta charla voy a explicar brevemente la teoría de DFT [1] y las oportunidades que nos proporciona para establecer una teoría cuántica de la reactividad química [2]. 
  • Algunas preguntas de carácter modelo-teórico, pero planteadas por químicos. En esta charla breve miraremos algunas preguntas que han hecho algunos químicos – preguntas sobre la estructura de las sustancias químicas, sobre la tensión entre cálculos cada vez más complejos y (según algunos de ellos) un escaso entendimiento real de preguntas fundamentales. Y usaremos algo de teoría de modelos como “prisma” para abordar algunas de esas preguntas (principalmente debidas al químico suizo de finales del siglo pasado, Hans Primas).
  • Modelos geométricos del helio. En esta charla se presentarán las ideas del artículo “Geometric models of helium” de Michael Atiyah. la idea principal es establecer un vínculo entre la teoría de superficies algebraicas y modelos químicos.

14 de junio / Conexiones motívicas

En nuestra cuarta sesión del seminario, el viernes 14 de junio en el salón 404-204, tuvimos varias conexiones con integración motívica y teoría de modelos. Hablaron Jorge Cely, Juan Ignacio Agudelo y Alex Cruz.

  • 9:00 a 10:10 – Jorge CELY – Integración uniforme en campos p-ádicos.
  • 10:30 a 11:20 – Juan Ignacio AGUDELO – Introducción a la teoría de integración motívica de Cluckers-Loeser.
  • 11:20 a 12:30 – John Alexander CRUZ – Análogo motívico de una integral p-ádica: La perspectiva de Kontsevich.

Resúmenes

CELY: Integración uniforme en campos p-ádicos

Presentaré una introducción a la teoría de integración motívica desde la perspectiva de la integración uniforme en campos p-ádicos. Esta aproximación es una forma débil de la integración motívica que resulta suficiente para varias aplicaciones (via versiones de Ax-Kochen/Ershov) en teoría de representaciones (programa de Langlands) y otras áreas. Explicaré en detalle la construcción de la integral, el uso de la descomposición en celdas (eliminación de cuantificadores) y la construcción de los anillos de la funciones relevantes para obtener una teoría de integración que funciona uniforme sobre campos locales no arquimedeanos de caracteristica residual grande. Dicha integral es independiente del campo local. Al final esbozaré como se obtiene la teoría de integración motívica de Cluckers-Loeser y si el tiempo lo permite mencionaré algo sobre la versión de Hrushovski-Kazhdan.

AGUDELO: Introducción a la teoría de integración motívica de Cluckers-Loeser

Motivado por problemas en geometría birracional y teoría de singularidades, Kontsevich introdujo en 1995 la idea de la integración motívica como una manera de capturar información geométrica de integrales p-ádicas de manera independiente al primo p. Desde entonces ha habido varias formalizaciones y extensiones de las ideas de Kontsevich, varias de las cuales dependen de manera esencial en la teoría de modelos de los campos valuados. En esta charla presentaré una introducción a la teoría de integración motívica de Cluckers-Loeser, con un énfasis particular en el papel que juegan las herramientas modelo teóricas.

CRUZ: Análogo motívico de una integral p-ádica: La perspectiva de Kontsevich

En esta charla se discutirán las ideas propuestas por Kontsevich en su texto ” Grothendieck Ring of Motives and Related Rings” donde se introduce la idea de integral motívica. En particular, se discutirá la aplicación de esta construcción en la correspondencia de McKay. La charla será bastante exploratoria en la medida que constituye mi primer esfuerzo por entender estas ideas.

Estudiantes, créditos, etc.

Los estudiantes de postgrado inscritos en seminario I, II o III deben hablar
con los organizadores inmediatamente para organizar presentaciones/trabajos
en sesiones paralelas. Adicionalmente, los estudiantes inscritos deberán llevar
bitácora del seminario, a entregar durante la semana siguiente a cada sesión.

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