Sesión 4 de I-19 / 14 de junio / Conexiones motívicas

Ojo: CAMBIO de salón: ¡será en el 404-204!

En nuestra cuarta sesión del seminario, el viernes 14 de junio en el salón 404-201 (404-204), tendremos varias conexiones con integración motívica y teoría de modelos. Hablarán Jorge Cely, Juan Ignacio Agudelo y Alex Cruz.

  • 9:00 a 10:10 – Jorge CELY – Integración uniforme en campos p-ádicos.
  • 10:30 a 11:20 – Juan Ignacio AGUDELO – Introducción a la teoría de integración motívica de Cluckers-Loeser.
  • 11:20 a 12:30 – John Alexander CRUZ – Análogo motívico de una integral p-ádica: La perspectiva de Kontsevich.

Resúmenes

CELY: Integración uniforme en campos p-ádicos

Presentaré una introducción a la teoría de integración motívica desde la perspectiva de la integración uniforme en campos p-ádicos. Esta aproximación es una forma débil de la integración motívica que resulta suficiente para varias aplicaciones (via versiones de Ax-Kochen/Ershov) en teoría de representaciones (programa de Langlands) y otras áreas. Explicaré en detalle la construcción de la integral, el uso de la descomposición en celdas (eliminación de cuantificadores) y la construcción de los anillos de la funciones relevantes para obtener una teoría de integración que funciona uniforme sobre campos locales no arquimedeanos de caracteristica residual grande. Dicha integral es independiente del campo local. Al final esbozaré como se obtiene la teoría de integración motívica de Cluckers-Loeser y si el tiempo lo permite mencionaré algo sobre la versión de Hrushovski-Kazhdan.

AGUDELO: Introducción a la teoría de integración motívica de Cluckers-Loeser

Motivado por problemas en geometría birracional y teoría de singularidades, Kontsevich introdujo en 1995 la idea de la integración motívica como una manera de capturar información geométrica de integrales p-ádicas de manera independiente al primo p. Desde entonces ha habido varias formalizaciones y extensiones de las ideas de Kontsevich, varias de las cuales dependen de manera esencial en la teoría de modelos de los campos valuados. En esta charla presentaré una introducción a la teoría de integración motívica de Cluckers-Loeser, con un énfasis particular en el papel que juegan las herramientas modelo teóricas.

CRUZ: Análogo motívico de una integral p-ádica: La perspectiva de Kontsevich

En esta charla se discutirán las ideas propuestas por Kontsevich en su texto ” Grothendieck Ring of Motives and Related Rings” donde se introduce la idea de integral motívica. En particular, se discutirá la aplicación de esta construcción en la correspondencia de McKay. La charla será bastante exploratoria en la medida que constituye mi primer esfuerzo por entender estas ideas.

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Sesión de mayo – de química teórica a lógica (vía geometría)

Esta sesión especial de mayo del seminario contará con la participación de Adam Wasserman (Purdue University), químico teórico, quien hablará de algunas preguntas fundamentales de estructura de moléculas – preguntas que se pueden leer “en clave matemática”. Además de Adam Wasserman, hablaremos Alex Cruz y yo.

Note el día y hora distintos: martes 21 de mayo, 17:30 a 20:00, salón 404-201. salón 405-202

He aquí los títulos de las charlas:

  • Adam Wasserman – (17:30 a 18:30) ¿Cuál es la forma de átomos en moléculas? – Hacia una teoría cuántica de la reactividad química.
  • Andrés Villaveces – (18:30 a 19:10) Algunas preguntas de carácter modelo-teórico, pero planteadas por químicos.
  • Alexander Cruz – (19:10 a 20:00) Modelos geométricos del helio.

Y los resúmenes:

  • ¿Cuál es la forma de átomos en moléculas? – Hacia una teoría cuántica de la reactividad química. En cierta forma, la mecánica cuántica da solución a todos los problemas de la química:   Lo “único” que hay que hacer es resolver las ecuaciones de Schrödinger para las moléculas de interés. Desafortunadamente, el costo computacional de resolver estas ecuaciones crece exponencialmente con el número de electrones, y para más de ~100 electrones resulta imposible resolverlas con “precisión química” (~ 2 kcal/mol). Las ecuaciones de Kohn-Sham (KS) de la Teoría de Funcionales de la Densidad (DFT) permiten reformular las ecuaciones de Schrödinger usando la densidad de probabilidad electrónica como la variable central sin necesidad de calcular las funciones de onda de Schrödinger.  El costo de resolver las ecuaciones de Kohn-Sham sólo crece como N3, donde N es el número de electrones, lo que ha llevado a la inmensa popularidad de DFT en química. En esta charla voy a explicar brevemente la teoría de DFT [1] y las oportunidades que nos proporciona para establecer una teoría cuántica de la reactividad química [2]. 
  • Algunas preguntas de carácter modelo-teórico, pero planteadas por químicos. En esta charla breve miraremos algunas preguntas que han hecho algunos químicos – preguntas sobre la estructura de las sustancias químicas, sobre la tensión entre cálculos cada vez más complejos y (según algunos de ellos) un escaso entendimiento real de preguntas fundamentales. Y usaremos algo de teoría de modelos como “prisma” para abordar algunas de esas preguntas (principalmente debidas al químico suizo de finales del siglo pasado, Hans Primas).
  • Modelos geométricos del helio. En esta charla se presentarán las ideas del artículo “Geometric models of helium” de Michael Atiyah. la idea principal es establecer un vínculo entre la teoría de superficies algebraicas y modelos químicos.

26 de abril: haces en física y lanzamiento del grupo

Este 26 de abril entre las 11 y las 13 horas tendremos dos charlas del Seminario – una sobre interacciones entre lógica de haces y física (fundamentos de la cuántica) y el lanzamiento del grupo Conexión de GALoiS.

Recuerde: 11 am en el salón 404-201.

  • 11:00 a 11:50 – Nicolás Medina (estudiante de maestría en Matemática Aplicada, Universidad Nacional): La estructura de Haz del espacio de estado en física.
  • 12:00 a 12:50 – Grupo Conexión de GALoiS (nuevo grupo de investigación asociado a los temas de este seminario): presentación inicial. Un recorrido a cargo de Andrés Villaveces y John Alexander Cruz del recorrido previo del grupo y de los temas de investigación y problemas abiertos que el grupo está abordando.

Resúmenes

  • (N. Medina) La estructura de Haz del espacio de estado en físicaAbstract: En esta presentación, se dará una introducción al topos de prehaces que caracteriza la formulación en topos de la mecánica cuántica, dónde ciertos prehaces (el prehaz espectral y sus subfuntores) van a jugar el rol de los espacios de estado físicos. Partiendo de este punto, buscando enriquecer la información geométrica y física de esta construcción, se presentará una posible topología de Grothendieck para la categoría base de los prehaces (la categoría de contextos), basada en una forma de entropía que en ciertos casos que se discutirán, será igual a la entropía de von Neumann. Esta topología, naturalmente permite estudiar las secciones de los prehaces a través de la cohomología de Cech dependiente de la topología, lo cual permitirá caracterizar obstrucciones para la existencia de secciones globales así como la definición de una curvatura asociada a las secciones, objetos que serán interpretados en términos de la relación entre estados puros y estados mixtos en una teoría física descrita de esta forma. Finalmente, se tomará el sitio generado por la categoría de contextos y la topología entrópica como el sitio sintáctico de una teoría que se discutirá a través del objeto universal (el endofuntor identidad) de su topos clasificante.
  • (Grupo Conexión de GALoiS / A. Villaveces / J.A. Cruz)

Minicurso – teoría de Hodge

En preparación para el Seminario del próximo viernes 9 de noviembre habrá un minicurso a cargo de Alex Cruz este próximo martes 6 de noviembre

“Period mappings” y “period domains”

(Por ahora términos sin traducción). La idea es discutir aspectos básicos de la teoría de Hodge haciendo especial enfásis en la idea de “period mapping” y “period domain”. Se discutirá el caso de curvas elípticas con cierto detalle.

Horario: Martes 6 de noviembre, 11:00 a 12:30  y  14:00 a 15:30.

Lugar: Oficina de Álex Cruz (si conseguimos salón más grande lo anunciaremos).

Próxima sesión: 9 de noviembre – Teoría de Hodge y teoría de modelos

La próxima sesión será el 9 de noviembre, de 9 am a 1 pm.

OJO: ¡lugar distinto del usual!   Sala 1 Hemeroteca

Hablarán John Alexander Cruz, Juan Ignacio Agudelo y Thomas Scanlon (en video conferencia desde Berkeley).

John Alexander Cruz (Matemáticas, Univ. Nacional – Bogotá) es uno de los organizadores de este seminario.
Juan Ignacio Agudelo es estudiante del programa de maestría en matemáticas de la Universidad Nacional (originalmente Sede Medellín, en tránsito hacia Sede Bogotá).
Thomas Scanlon (UC-Berkeley) es uno de los especialistas en teoría de modelos más prominentes a nivel mundial. Sus trabajos en conexiones entre Teoría de Modelos pura y en aplicaciones de la Teoría de Modelos a Geometría Aritmética, Dinámica Algebraica, etc. le han merecido un altísimo reconocimiento.

La sesión estará centrada en interacciones entre teoría de Hodge y teoría de modelos (DCF, etc.).
Alex Cruz (9:00 a 9:50): Ecuaciones diferenciales de origen geométrico: El caso irregular
Juan Ignacio Agudelo (10:10 a 11:00): Teoría geométrica de estabilidad y la conjetura de Mordell-Lang.
Tom Scanlon (11:30 a 12:30 + discusión/preguntas hasta 13:00): Definability and uniformizing differential equations (video-conferencia desde Berkeley).

Resúmenes:

Cruz: Ecuaciones diferenciales de origen geométrico: El caso irregular.  En esta charla (que es la segunda parte de mi charla dada en la primera sesión del seminario) discutiremos una extensión de la idea de ecuación diferencial de origen geométrico para el caso con singularidades irregulares. Esta idea ha estado presente en trabajos de Kontsevich, Sabbah, Fresan y otros con distintos avatares. Al final discutiremos el papel que puede jugar la teoría de modelos en el estudio de estas ecuaciones.

Agudelo:  Teoría geométrica de estabilidad y la conjetura de Mordell-Lang. La prueba de Hrushovski de la conjetura de Mordell-Lang relativa ha sido uno de los ejemplos más sorprendentes de la interacción entre la teoría de modelos y la geometría algebraica. Por un lado, Hrushovski fue el primero en dar una prueba de esta conjetura en característica prima; por otro, la prueba hace uso de algunas de las herramientas más profundas que se han desarrollado en la teoría geométrica de estabilidad (Conjuntos fuertemente minimales en DCF y SCF, Grupos uno-basados, Geometrías de Zariski, la dicotomía de Zilber, etc). El propósito de esta charla es dar un bosquejo (en el caso de característica 0, por simplicidad) de los argumentos utilizados por Hrushovski para demostrar la conjetura de Mordell-Lang relativa, con un énfasis en el rol que juegan las herramientas de teoría de modelos.

Scanlon: Definability and uniformizing differential equations. Quotient maps of the form q:D \to \Gamma \backslash D where D is a complex domain and \Gamma is an arithmetic group acting on D by holomorphic automorphisms appear in the study of moduli problems and in Hodge theory. When the quotient X = \Gamma \backslash D is algebraic, or more generally, when X \subseteq \Gamma \backslash D is a an algebraic subvariety of the analytic space \Gamma \backslash D, then q (or really, the restriction of q to q^{-1} X) satisfies nontrivial nonlinear algebraic differential equations, which in the string theory literature go under the name of the uniformizing differential equations.

In this lecture, I will explain how the algebraicity of these equations may be established as a consequence of theorems of Peterzil and Starchenko on rationality of o-minimally definable complex analytic functions. I will also discuss how this relates to some recent work of Bakker, Klingler and Tsimerman on o-minimal definability of period mappings and work of Doran on jump loci.

Sobre los anuncios recientes (HR y abc), 3 de octubre en la Facultad

cruzzalamea

Un conversatorio tendrá lugar la semana entrante en el Auditorio de la Facultad de Ciencias en la Universidad Nacional, sobre los anuncios muy recientes de Atiyah y la Hipótesis de Riemann y del estatus de la demostración de la conjetura abc de Mochizuki después de las respuestas de Scholze y Stix.

“Sobre Atiyah y Mochizuki”

El conversatorio será coordinado por Alexander Cruz y Fernando Zalamea.

Miércoles 3 de octubre a las 3 de la tarde.

28 de septiembre: física y teoría de modelos

La segunda sesión del seminario tendrá CUATRO charlas

SALÓN 404-200A (¡note cambio de salón!) – Viernes 28 de septiembre

Resúmenes:

Xavier Caicedo –

Nicolás Medina – Es posible decir que el contraste esencial que existe entre la teoría cuántica y la formulación clásica de la mecánica es la presencia de información en las correlaciones entre grados de libertad de los sistemas físicos, que no puede ser deducida de información parcial relativa a subsistemas. Es decir, en mecánica cuántica más es diferente (P. W Anderson, 1972; J. Preskill, 2003). Este hecho establece un diálogo no trivial (no reduccionista) entre las leyes físicas de los sistemas individuales (local) y la  fenomenología colectiva (global). En esta charla, se presentará la estructura probabilística de la mecánica cuántica en el lenguaje de haces (el prehaz espectral) como una formulación dónde el fenómeno de la información correlativa emergente aparece de manera natural (C. J. Isham et. al. 1998, S. Abramsky et. al. 2011). La consecuencia más importante de esta presentación es que la lógica con la cual se manipulan las proposiciones referentes a los sistemas físicos resulta no ser la misma que en mecánica clásica, sin embargo, aparecen iguales localmente. Se replantea entonces el problema de cómo trazar una frontera entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica, a través de la manera en que un estado físico arbitrario introduce información geométrica sobre el prehaz espectral. Finalmente, se discutirán los usos posibles de esta construcción en el problema de discriminación de estados en información cuántica.

Leonardo Cano – Basados en nuestro trabajo en colaboración con Pedro Zambrano, en la charla introducimos haces fibrados de estructuras de primer orden y una semántica que involucra una noción de observador y una distinción de la extensión vertical (respecto a las medidas) y horizontal (respecto a dónde se mide) sobre estos haces.

Andrés Villaveces – Uno de los ejemplos provenientes de la física cuántica que ha sido objeto de varios análisis modelo-teóricos en años recientes ha sido el propagador cuántico (trabajos de Zilber y de Hirvonen-Hyttinen). Aquí proponemos otro enfoque, más cercano a la lógica de haces métricos, en trabajo conjunto con Maicol Ochoa. En particular, damos una construcción mediante espacios de Schwartz que permite enfocar el comportamiento del operador asociado al propagador como límite de operadores que actúan sobre espacios finito-dimensionales.