Minicurso – teoría de Hodge

En preparación para el Seminario del próximo viernes 9 de noviembre habrá un minicurso a cargo de Alex Cruz este próximo martes 6 de noviembre

“Period mappings” y “period domains”

(Por ahora términos sin traducción). La idea es discutir aspectos básicos de la teoría de Hodge haciendo especial enfásis en la idea de “period mapping” y “period domain”. Se discutirá el caso de curvas elípticas con cierto detalle.

Horario: Martes 6 de noviembre, 11:00 a 12:30  y  14:00 a 15:30.

Lugar: Oficina de Álex Cruz (si conseguimos salón más grande lo anunciaremos).

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Próxima sesión: 9 de noviembre – Teoría de Hodge y teoría de modelos

La próxima sesión será el 9 de noviembre, de 9 am a 1 pm.

OJO: ¡lugar distinto del usual!   Sala 1 Hemeroteca

Hablarán John Alexander Cruz, Juan Ignacio Agudelo y Thomas Scanlon (en video conferencia desde Berkeley).

John Alexander Cruz (Matemáticas, Univ. Nacional – Bogotá) es uno de los organizadores de este seminario.
Juan Ignacio Agudelo es estudiante del programa de maestría en matemáticas de la Universidad Nacional (originalmente Sede Medellín, en tránsito hacia Sede Bogotá).
Thomas Scanlon (UC-Berkeley) es uno de los especialistas en teoría de modelos más prominentes a nivel mundial. Sus trabajos en conexiones entre Teoría de Modelos pura y en aplicaciones de la Teoría de Modelos a Geometría Aritmética, Dinámica Algebraica, etc. le han merecido un altísimo reconocimiento.

La sesión estará centrada en interacciones entre teoría de Hodge y teoría de modelos (DCF, etc.).
Alex Cruz (9:00 a 9:50): Ecuaciones diferenciales de origen geométrico: El caso irregular
Juan Ignacio Agudelo (10:10 a 11:00): Teoría geométrica de estabilidad y la conjetura de Mordell-Lang.
Tom Scanlon (11:30 a 12:30 + discusión/preguntas hasta 13:00): Definability and uniformizing differential equations (video-conferencia desde Berkeley).

Resúmenes:

Cruz: Ecuaciones diferenciales de origen geométrico: El caso irregular.  En esta charla (que es la segunda parte de mi charla dada en la primera sesión del seminario) discutiremos una extensión de la idea de ecuación diferencial de origen geométrico para el caso con singularidades irregulares. Esta idea ha estado presente en trabajos de Kontsevich, Sabbah, Fresan y otros con distintos avatares. Al final discutiremos el papel que puede jugar la teoría de modelos en el estudio de estas ecuaciones.

Agudelo:  Teoría geométrica de estabilidad y la conjetura de Mordell-Lang. La prueba de Hrushovski de la conjetura de Mordell-Lang relativa ha sido uno de los ejemplos más sorprendentes de la interacción entre la teoría de modelos y la geometría algebraica. Por un lado, Hrushovski fue el primero en dar una prueba de esta conjetura en característica prima; por otro, la prueba hace uso de algunas de las herramientas más profundas que se han desarrollado en la teoría geométrica de estabilidad (Conjuntos fuertemente minimales en DCF y SCF, Grupos uno-basados, Geometrías de Zariski, la dicotomía de Zilber, etc). El propósito de esta charla es dar un bosquejo (en el caso de característica 0, por simplicidad) de los argumentos utilizados por Hrushovski para demostrar la conjetura de Mordell-Lang relativa, con un énfasis en el rol que juegan las herramientas de teoría de modelos.

Scanlon: Definability and uniformizing differential equations. Quotient maps of the form q:D \to \Gamma \backslash D where D is a complex domain and \Gamma is an arithmetic group acting on D by holomorphic automorphisms appear in the study of moduli problems and in Hodge theory. When the quotient X = \Gamma \backslash D is algebraic, or more generally, when X \subseteq \Gamma \backslash D is a an algebraic subvariety of the analytic space \Gamma \backslash D, then q (or really, the restriction of q to q^{-1} X) satisfies nontrivial nonlinear algebraic differential equations, which in the string theory literature go under the name of the uniformizing differential equations.

In this lecture, I will explain how the algebraicity of these equations may be established as a consequence of theorems of Peterzil and Starchenko on rationality of o-minimally definable complex analytic functions. I will also discuss how this relates to some recent work of Bakker, Klingler and Tsimerman on o-minimal definability of period mappings and work of Doran on jump loci.

Sobre los anuncios recientes (HR y abc), 3 de octubre en la Facultad

cruzzalamea

Un conversatorio tendrá lugar la semana entrante en el Auditorio de la Facultad de Ciencias en la Universidad Nacional, sobre los anuncios muy recientes de Atiyah y la Hipótesis de Riemann y del estatus de la demostración de la conjetura abc de Mochizuki después de las respuestas de Scholze y Stix.

“Sobre Atiyah y Mochizuki”

El conversatorio será coordinado por Alexander Cruz y Fernando Zalamea.

Miércoles 3 de octubre a las 3 de la tarde.

28 de septiembre: física y teoría de modelos

La segunda sesión del seminario tendrá CUATRO charlas

SALÓN 404-200A (¡note cambio de salón!) – Viernes 28 de septiembre

Resúmenes:

Xavier Caicedo –

Nicolás Medina – Es posible decir que el contraste esencial que existe entre la teoría cuántica y la formulación clásica de la mecánica es la presencia de información en las correlaciones entre grados de libertad de los sistemas físicos, que no puede ser deducida de información parcial relativa a subsistemas. Es decir, en mecánica cuántica más es diferente (P. W Anderson, 1972; J. Preskill, 2003). Este hecho establece un diálogo no trivial (no reduccionista) entre las leyes físicas de los sistemas individuales (local) y la  fenomenología colectiva (global). En esta charla, se presentará la estructura probabilística de la mecánica cuántica en el lenguaje de haces (el prehaz espectral) como una formulación dónde el fenómeno de la información correlativa emergente aparece de manera natural (C. J. Isham et. al. 1998, S. Abramsky et. al. 2011). La consecuencia más importante de esta presentación es que la lógica con la cual se manipulan las proposiciones referentes a los sistemas físicos resulta no ser la misma que en mecánica clásica, sin embargo, aparecen iguales localmente. Se replantea entonces el problema de cómo trazar una frontera entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica, a través de la manera en que un estado físico arbitrario introduce información geométrica sobre el prehaz espectral. Finalmente, se discutirán los usos posibles de esta construcción en el problema de discriminación de estados en información cuántica.

Leonardo Cano – Basados en nuestro trabajo en colaboración con Pedro Zambrano, en la charla introducimos haces fibrados de estructuras de primer orden y una semántica que involucra una noción de observador y una distinción de la extensión vertical (respecto a las medidas) y horizontal (respecto a dónde se mide) sobre estos haces.

Andrés Villaveces – Uno de los ejemplos provenientes de la física cuántica que ha sido objeto de varios análisis modelo-teóricos en años recientes ha sido el propagador cuántico (trabajos de Zilber y de Hirvonen-Hyttinen). Aquí proponemos otro enfoque, más cercano a la lógica de haces métricos, en trabajo conjunto con Maicol Ochoa. En particular, damos una construcción mediante espacios de Schwartz que permite enfocar el comportamiento del operador asociado al propagador como límite de operadores que actúan sobre espacios finito-dimensionales.

31 de agosto: Ecuaciones, simetría espejo y teoría de modelos

La sesión inicial estará dedicada a interacciones entre simetría espejo, invariantes modulares, ecuaciones diferenciales y teoría de modelos asociada a álgebra diferencial.

SALÓN 405-217 – Viernes 31 de agosto

  • Alex Cruz (9:00 a 9:50): Ecuaciones de origen geométrico y teoría de modelos.
  • Andrés Villaveces (10:00 a 10:50): Una caja de herramientas modelo-teóricas para estudiar minimalidad fuerte de soluciones de ecuaciones diferenciales.
  • Leonardo Cano (11:10 a 12:00): Estructuras complejas sobre superficies.

Resúmenes:

Alex Cruz – En esta charla vamos a discutir la pregunta ¿Qué significa que una ecuacion diferencial (ordinaria) sea de origen geométrico? La respuesta a esta pregunta relaciona de manera interesante geometría, aritmética y ecuaciones diferenciales. Intentaremos argumentar que la teoría de modelos puede ser una herramienta útil para estudiar el problema de la “geometricidad” de ecuaciones diferenciales, de tal forma que a la triada anterior (geometría-aritmética-ODE) se añade la teoría de modelos.

Andrés Villaveces – Nos concentraremos en una sola ecuación diferencial de orden 3 (dada por el polinomio \Phi(x,x',x'',x''')), aquella cuya solución es la famosa invariante modular j (Gauss, Weierstrass, …) y compararemos ideas recientes de dos estilos distintos para establecer que las soluciones de j son fuertemente minimales: el camino de Freitag y Scanlon por un lado (que usa un lema de estabilidad más un lema de ecuaciones diferenciales debido a Nishioka), y el camino de Aslanyan (que entrelaza la modularidad de j con su ecuación diferencial \Phi(x,x',x'',x''') a través de Ax-Schanuel para j [Pila-Tsimerman]), con miras al uso de estas ideas para otras ecuaciones.

¡Estrenamos blog del seminario!

En II-2018 estrenamos blog de nuestro seminario de Lógica y Geometría en Bogotá…

Algunos anuncios por ahora: tendremos tres sesiones, el 31 de agosto, el 28 de septiembre y el 2 de noviembre. Todas serán los viernes de 9 a 1. En la tercera sesión Tom Scanlon ofreció dar por video-conferencia una charla – será entonces el 2 de noviembre a las 11 de la mañana.


Además de la lista de lógica y las listas de información del departamento y la facultad, esperamos enviar aquí anuncios y poner información relevante.